Ecuaciones en Z

 A.- Definición

      Una ecuación es una expresión donde interviene un signo de igual (=) con números y una letra. Por ejemplo:

2x – 7 = 3x + 5

      El signo de igual (=) divide a la ecuación en dos miembros:

B.- Elementos

       En una ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos:

b.1.- Términos

      Se distinguen porque están separados por los signos más (+) o menos (-). En el ejemplo dado, la ecuación tiene cuatro (4) términos: 2x, 7, 3x y 5.

b.2.- Variable

      La letra que se encuentra en el cuerpo de la ecuación. En el ejemplo, la equis (x).

b.3.- Coeficientes

      Son los números que aparecen junto a la variable. En el ejemplo los coeficientes son el 2 y el 3.

b.4.- Términos independientes

      Son los números que aparecen solos (sin la variable). En el ejemplo los términos independientes son el 7 y el 5.

 C.- Resolver una ecuación

      Una ecuación hace las veces de una balanza (pesa) o un balancín de un parque.

En ambos casos para mantener la igualdad solo se requiere que en ambos lados (platos de la balanza o asientos del balancín del parque) se coloque la misma cantidad de peso.

      Para conservar ese equilibrio, al quitar un peso de un lado, se debe quitar el mismo peso del otro lado. Y si se agrega más peso de un lado, pues se agrega el mismo peso del otro.

      Este principio es el que sirve para resolver ecuaciones.

¿En qué consiste resolver una ecuación?

Resolver una ecuación es buscar un valor para la variable “x”, tal que al ser colocado en su lugar, se satisfaga o se compruebe la igualdad. Para calcular el valor de la variable se pueden seguir los pasos:

Ø Se eliminan los signos de agrupación (si los hay), aplicando la propiedad distributiva.

Ø Se agrupan los términos que tienen la variable en el primer miembro de la ecuación y los términos independientes en el segundo miembro. Para ello debemos:

v Los términos positivos se restan en ambos miembros de la ecuación.

v Los términos negativos se suman en ambos miembros de la ecuación.

Ø  Se suman o restan los números que acompañan a la variable hasta que quede un solo término en el primer miembro.

Ø  Se suman o restan los términos independientes hasta que quede un solo número en el segundo miembro de la ecuación.

Ø Se dividen ambos miembros entre el número que quedó acompañando a la variable en el primer miembro.

Ø Obtenido el valor para la variable, se procede a comprobar el resultado.

 D.- Comprobar el resultado de una ecuación

      Una vez obtenido el valor de la variable, se pasa a sustituir dicho número en el lugar de ella, en la ecuación inicial, y se resuelven, por separado, las operaciones en el primer y en el segundo miembro.

      El valor calculado estará correcto, si ambos resultados son iguales.

Ejemplo 1

 Resolver la ecuación y comprobar la solución:

3.(2x-5) + 1 = 5 – (3 – 4x)

Solución:

a.-) Se eliminan los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva.

b.-) Se quitan los términos del plato derecho (segundo miembro de la ecuación) que tienen la variable.

      El único término que cumple con tal condición es el 4x y como está positivo, restamos 4x en ambos platos para que la balanza se mantenga equilibrada.

c.-) Se quitan los términos independientes del primer plato. Estos son el 15 y el 1.

      Se suma 15 y se resta 1 en cada plato.

d.-) Restamos las “x” en el primer plato y sumamos y restamos los números en el segundo plato.

e.-) Se dividen los términos de cada plato entre 2 (número que quedó acompañando a la variable en el primer plato)

Hemos llegado al valor de la variable “x” y con ello la solución de la ecuación

x = 8

      Pasemos ahora a comprobar la solución en la ecuación.

 

Comprobación:

      En la ecuación original se sustituye la variable “x” por el 8.

3.(2x-5) + 1 = 5 – (3 – 4x)

3.(2.8 - 5) + 1 = 5 – (3 – 4.8)

      Resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis:

3.(16 - 5) + 1 = 5 – (3 – 32)

3.(11) + 1 = 5 – (- 29)

      Eliminamos los paréntesis

33 + 1 = 5 +29

34 = 34

      De esta manera se comprueba que la solución de la ecuación es correcta.

X = 8

      En lo sucesivo resolveremos las ecuaciones siguiendo el procedimiento sin la imagen de la balanza.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación y comprobar la solución:

5(1- 2x) – 3(x + 7) = 10 – 5(2x + 1)

Solución:

a.-) Eliminamos los signos de agrupación

5 – 10x – 3x – 21 = 10 – 10x – 5

b.-) Eliminamos el – 10x del segundo miembro. Sumando 10x en ambos miembros.

5 – 10x – 3x – 21 + 10x = 10 – 10x + 10x – 5

5 – 10x – 3x – 21 + 10x = 10– 5

c.-) Quitamos el 5 y el – 21 del primer miembro, restando 5 y sumando 21 en ambos miembros.

5 - 5 – 10x – 3x – 21 + 21 + 10x = 10 – 5 – 5 + 21

– 10x – 3x + 10x = 10 – 5 – 5 + 21

d.-) Sumamos y restamos los términos del primer miembro para dejar una sola “x”. A su vez sumamos y restamos los números del segundo miembro para dejar uno solo.

- 3x = 21

e.-) Ahora dividimos entre -3 los dos miembros

Hemos calculado el valor de la “x”.

Pasemos ahora a comprobar ese resultado.

Comprobación:

      Colocamos el – 7 en el lugar de la “x” en la ecuación dada:

5(1- 2x) – 3(x + 7) = 10 – 5(2x + 1)

5[1- 2.(-7)] – 3[(-7) + 7] = 10 – 5[2.(-7) + 1]

      Resolvemos las operaciones dentro de cada corchete:

5[1 + 14] – 3[0] = 10 – 5[-14 + 1]

5[15] – 0 = 10 – 5[-13]

      Eliminamos los corchetes

75 = 10 + 65

      Finalmente,

75 = 75

      Se comprueba que “x” vale - 7

Ejercicios propuestos

     Calcula el valor de la variable en cada ecuación dada y comprueba el resultado:

1.-) 3t + 1 = t - 3

2.-) 5x + 5 = 3x + 7

3.-) 2(2t – 5) = 3(t – 1) – 4

4.-) 3(x – 2) + 10 = 2(2x + 2) + 2

5.-) 2(m + 3) – 8(2m – 4) = - 32

6.-) 3z + 4(z – 10) = z + 20

7.-) 3a + 4(-2a + 1) = 3(a – 5) + 2(2a – 7) – 3

8.-) x + 2 – 3(x – 5) + 15 = - 3x + 15

9.-) - 4n + 3(20 + n) + 7 = 15 – 5(x – 12) + 3x

10.-) x + 5(7 – 2x) – 5 = 10(3 – x)