Mínimo común múltiplo y Máximo Común Divisor

 A.- Mínimo Común múltiplo

A.1.- definición

      El mínimo común múltiplo (m.c.m) entre dos o más números naturales se define como el número natural más pequeño que se puede  dividir de forma exacta entre todos ellos.

Por ejemplo, entre 4 y 6 el m.c.m es 12 ya que es el número más pequeño que se puede dividir entre 4 y 6.

Entre 4 y 6 también se pueden dividir el 24, el 36, el 48 y muchos otros más, pero el menor de todos es el 12. De allí entonces escribiremos:

m.c.m (4 y 6 ) = 12 

A.2.- cálculo del m.c.m

      El m.c.m entre dos o más números se puede determinar de las siguientes formas:

i.-) Calculando los múltiplos

      Este método consiste en calcular los múltiplos de todos los números hasta encontrar el primer común (el más pequeño). Veamos un ejemplo:

Calcular el m.c.m entre 3, 6 y 9

Múltiplos de 3

3-6-9-12-15-18-21-24-27-30-33-36…

Múltiplos de 6

6-12-18-24-30-36…

Múltiplos de 9

9-18-27-36…

      Entre esos tres números se van a encontrar muchos comunes, pero el más pequeño es el 18. De manera que:

m.c.m (3, 6 y 9) = 18

Este método de cálculo del m.c.m no es aconsejable cuando los números son muy altos, ya que los múltiplos ameritan muchos cálculos.

ii.-) Por descomposición en factores primos

      El procedimiento a seguir en este método es como se describe:

a.- Se descomponen los números dados en sus factores primos.

b.- Se escriben los números como productos de potencias de sus factores primos.

c.- El m.c.m. será el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

      Veamos un ejemplo:

Calcular el m.c.m entre los números: 9, 15 y 18

Descomponemos los números en factores primos y escribimos sus factores como potencias.

Escogemos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

b.- Máximo Común divisor

b.1.- definición

      El máximo común divisor (M.C.D) entre dos o más números naturales se define como el número natural más grande divisor común de todos ellos.

Por ejemplo

Ø El M.C.D. entre 6, 8 y 12 es 2, ya que 2 es el número natural más grande que divide en forma exacta al 6, al 8 y al 12.

En otras palabras, el 6, el 8 y el 12 son múltiplos de 2. No existe otro número natural mayor a 2 del que puedan ser múltiplos, al mismo tiempo, el 6, el 8 y el 12.

Ø El M.C.D. entre 6, 12 y 18 es 6, ya que 6 es el número natural más grande que divide en forma exacta al 6, al 12 y al 18.

Ø El M.C.D. entre 5, 16  y 21 es 1, ya que no hay otro número natural que divida en forma exacta y al mismo tiempo al 5, al 16 y al 21.

b.2.- cálculo del m.c.D

      El M.C.D entre dos o más números lo determinaremos buscando los factores primos de cada número y multiplicando los factores comunes con el menor exponente.  Vamos a ver un ejemplo:

Calcular el M.C.D entre 12, 20 y 60

Entre 12, 20 y 60 hay tres factores primos: 2, 3 y 5. El único que es común (Aparece en los tres números) es el 2.

      Como el 2 tiene el mismo exponente en los tres sitios, entonces diremos que:

Ejercicios propuestos

      Calcule el m.c.m y el M.C.D entre los números que se indican en cada caso:

1.-) 10, 12 y 16

2.-) 12, 20 y 21

3.-) 10, 64 y 36

4.-) 8, 72 y 121

5.-) 12 y 15

6.-) 21 y 28

7.-) 96 y 108

8.-) 96, 102, 192 y 306

9.-) 120, 140 y 180

10.-) 200, 300 y 400