Potenciación en Q

p.2.2.-) Toda fracción elevada a la uno (1) es la misma fracción:

$$(\frac{a}{b})^1 = \frac{a}{b}$$

Ejemplos:

        i.-)  \( (\frac{15}{7})^1 = \frac{15}{7}\)

        ii.-)  \( (-\frac{17}{11})^1 = -\frac{17}{11}\)

p.2.3.-) Toda fracción elevada a un número negativo, se convierte en su inversa con el mismo exponente positivo:

$$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$$

Ejemplos:

        i.-) \( (\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2\)

               = \(\frac{4}{3}\).\(\frac{4}{3}\) = \(\frac{16}{9}\)

        ii.-) \( (-\frac{17}{11})^{-1} = -\frac{11}{17}\)

p.2.4.-) En el producto de potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes:

$$(\frac{a}{b})^m . (\frac{a}{b})^n = (\frac{a}{b})^{m+n}$$

Ejemplo:

          \( (\frac{7}{8})^2 . (\frac{7}{8})^3\)

\( (\frac{7}{8})^2 . (\frac{7}{8})^3\) = \( (\frac{7}{8})^{2+3}\) = \( (\frac{7}{8})^5\) = \( \frac{7^5}{8^5}\) = \( \frac{16807}{32768}\)

p.2.5.-) En la potencia de productos cada factor queda elevado al exponente:

$$(\frac{a}{b} . \frac{c}{d})^n = (\frac{a}{b})^n . (\frac{c}{d})^n$$

Ejemplo:

$$(\frac{3}{5} . \frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{5})^2 . (\frac{1}{2})^2$$

$$= (\frac{3^2}{5^2}) . (\frac{1^2}{2^2})$$

$$= (\frac{9}{25}) . (\frac{1}{4})$$

$$= \frac{9.1}{25.4}$$

$$= \frac{9}{100}$$

p.2.6.-) En la división de potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes:

$$(\frac{a}{b})^m \div (\frac{a}{b})^n = (\frac{a}{b})^{m-n}$$

Ejemplo:

$$(\frac{5}{6})^6 \div (\frac{5}{6})^7 = (\frac{5}{6})^{6-7}$$

$$= (\frac{5}{6})^{-1}$$

Como el exponente es negativo, se intercambia numerador por denominador y se coloca el exponente positivo:

$$= (\frac{6}{5})^1$$

$$= \frac{6}{5}$$

p.2.7.-) En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponente:

$$[(\frac{a}{b})^m]^n = (\frac{a}{b})^{m.n}$$

Ejemplo:

$$[(\frac{1}{3})^2]^3 = (\frac{1}{3})^{2.3}$$

$$= (\frac{1}{3})^{6}$$

$$= \frac{1^6}{3^6}$$

$$= \frac{1}{729}$$