Operaciones en Q

Ya sabemos que los números racionales incluyen a los enteros; con ellos trabajamos en otro objetivo de este curso. Por ello, dedicaremos esta unidad, básicamente al trabajo con las fracciones.

A.- SUMA O ADICIÓN EN Q

La suma de dos números racionales es otro número racional.

Para sumar dos fracciones se deben tener en cuenta los denominadores:

a.1.- Suma de fracciones con iguales denominadores.

Si se tienen dos fracciones $ \frac{a}{b}$ y $ \frac{c}{b}$. Entonces:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

Por ejemplo:

$$\frac{7}{5} + \frac{11}{5} = \frac{7+11}{5}$$

$$\frac{7}{5} + \frac{11}{5} = \frac{18}{5}$$

“Se suman los numeradores entre sí y se le coloca el mismo denominador”

No importa cuántas fracciones con el mismo denominador se estén sumando.

$$\frac{9}{7} + \frac{13}{7} + \frac{2}{7}$$

$$=\frac{9+13+2}{7} = \frac{24}{7}$$

a.2.- Suma de fracciones con distintos denominadores.

La suma de fracciones con distintos denominadores va a depender de la cantidad de fracciones que se estén sumando. Por ello, hablaremos de dos casos:

a.2.1.- Cuando se suman solo dos fracciones

Se realiza el producto cruzado como se indica:

a.2.2.- Cuando se suman más de dos fracciones

En este caso haremos uso del mínimo común múltiplo (m.c.m) entre los denominadores. Por ello, se le suele llamar también mínimo común denominador (m.c.d).

Ejemplo

Resolver: $ \frac{7}{4} + \frac{11}{12} + \frac{5}{9} $

Calculamos el mínimo común denominador.

a.3.- Propiedades de la suma en Q.

La suma de fracciones cumple con las siguientes propiedades:

a.3.1.-) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado:

a.3.2.-) Asociativa: Tres o más sumandos se pueden agrupar de distintas formas y el resultado es siempre es el mismo:

Por ejemplo

a.3.3.-) Elemento neutro: La suma de cualquier número racional con el cero (0) da como resultado el mismo número racional.

a.3.4.-) Elemento simétrico u opuesto: El opuesto de un número racional $ \frac{a}{b}$ es otro número racional $-\frac{a}{b}$, tal que la suma entre ellos da el elemento neutro (0). Por ejemplo:

El opuesto de $\frac{3}{5}$ es $-\frac{3}{5}$, ya que: $$\frac{3}{5} + (- \frac{3}{5}) = 0$$

El opuesto de $-\frac{13}{15}$ es $\frac{13}{15}$, ya que: $$-\frac{13}{15} + \frac{13}{15} = 0$$

B.- RESTA O SUSTRACCIÓN EN Q

La resta o sustracción en Q se realiza buscando el opuesto del sustraendo y operando según los signos (números con signos iguales se suman y al resultado se le coloca el mismo signo, números con signos distintos se restan y al resultado se le coloca el signo del número mayor).

C.- SUMA Y RESTA COMBINADAS DE NÚMEROS RACIONALES

La suma y resta de números racionales se realiza respetando las reglas de los denominadores; esto es, si son iguales o diferentes. De igual forma, se debe tener cuidado si aparecen signos de agrupación. Los mismos se eliminan tal cual como lo realizamos en el conjunto de los números enteros.

Ejemplos

D.- MULTIPLICACIÓN EN Q

La multiplicación de dos o más números racionales es otro número racional. En esta operación es importante tener en cuenta las reglas de la multiplicación de signos.

Ley de los signos
+	x	+	=	+
-		-		+
+		-		-
-		+		-

La multiplicación de fracciones se realiza de forma lineal, numeradores entre ellos y denominadores entre ellos:

d.1.- Propiedades de la multiplicación en Q

Al igual que en la suma, en la multiplicación también se cumplen algunas propiedades:

d.1.1.-) Conmutativa: El orden de los factores no altera el resultado:

d.1.2.-) Asociativa: Tres o más fracciones se pueden agrupar de distintas formas y el producto (resultado) es siempre es el mismo:

d.1.3.-) Elemento neutro: La multiplicación de cualquier número racional con el uno (1) da como resultado el mismo número racional.

d.1.4.-) Elemento inverso: Se denomina elemento inverso de una fracción $ \frac{a}{b}$ a la fracción que resulta de intercambiar numerador por denominador. Es decir: $ \frac{b}{a}$. El producto de una fracción por su inversa es el elemento neutro.

Ejemplo

La inversa de la fracción $ \frac{3}{5}$ es $ \frac{5}{3}$, ya que $ \frac{3}{5}$ x $ \frac{5}{3}$ = 1

d.1.5.-) Factor cero (0): La multiplicación de un número racional por el cero (0), da como resultado cero (0).